研究隨筆

轉載自
http://www.bime.ntu.edu.tw/~ttlin/Course01/lecture_notes/c1lecture_note03.htm

透視轉換(Perspective Transform)
●透視轉換是將三維空間的點投影到平面上，基本上透視轉換和前述之基本轉換是不同的，因透視轉換為非線性轉換

　
１．基本關係式：

由以上二式可求得點之投影座標
　
２．透視轉換之矩陣表示法：
(1).利用齊次座標(Homogeneous coordinates)轉換與表示：
(2).定義透視轉換矩陣：
　
　
　
(3).進行轉換：
(4).由齊次座標轉換回原座標系統：
* z is a free variable for inverse perspective transform
　
３．透視轉換之反轉換：
ｗ_h = Ｐ^-1 ｃ_h
逆矩陣Ｐ^-1可以由上式求出，如下式：
但是影像平面上之一點(x₀, y₀)或(x₀, y₀, 0)經由上面式子轉換之結果將無法得到三維空間之投射(z=0)，如下所示：
故必須假藉一自由變數z以求得三維之反轉換
以Z表示z則可得
　
三、相機模型(Camera Model)
前述之轉換有一基本假設，即是影像座標與體座標是一致的（原點相同且沒有旋轉）。上圖之相機模型則加入了較複雜之座標系統間的關係，雖然兩個座標系統不一致，但是前述之原理仍可以應用於這個相機模型中，只要經過適當的體座標系統轉換，令兩座標系統之原點和座標軸一致即可，以下為使兩個座標系統一致的步驟：
１．首先將體座標系統之原點移至環架(Gimbal)中心：
２．分別對x軸及z軸進行旋轉：
（請注意逆時針方向角度為正值）
Ｒ = Ｒ_αＲ_θ
３．再將座標系統之原點移至影像平面中心：
４．進行透視轉換：
ｃ_h = ＰＣＲＧｗ_h
　
５．一個實例：

　
四、相機校準方法(Camera Calibration)
應用已知點座標來計算照相機參數(Offset, tilt, pan...)的計算程序一般稱為相機校準。
令　Ａ = ＰＣＲＧ, ｃ_h = Ａｗ_h, k = 1, 則
展開得
將c_h4代入可得
因此由上面二式可知有12個係數待求得，故校準之目的即是求得這些係數，求取係數之步驟如下：
１．取得六個或六個以上(m≧6)之點的已知座標
(X_i,Y_i,Z_i), i = 1,2,...,m。
２．以照相機取得已知點之影像座標(x_i, y_i), i = 1,2,...,m。
３．代入上面之聯立式中求解係數。
　
五、立體取像(Stereo Imaging)

轉自

http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/EPSRC_SSAZ/node3.html

3x4 Projection Matrix

There are three coordinate systems involved --- camera, image and world.

Camera: perspective projection.

This can be written as a linear mapping between homogeneous coordinates (the equation is only up to a scale factor):
where a projection matrix represents a map from 3D to 2D.
Image: (intrinsic/internal camera parameters)

is a upper triangular matrix, called the camera calibration matrix:
where , .
- provides the transformation between an image point and a ray in Euclidean 3-space.
- There are four parameters:
  1. The scaling in the image x and y directions, and .
  2. The principal point , which is the point where the optic axis intersects the image plane.
  The aspect ratio is .
- Once is known the camera is termed calibrated.
- A calibrated camera is a direction sensor, able to measure the direction of rays --- like a 2D protractor.
World: (extrinsic/external camera parameters)
The Euclidean transformation between the camera and world coordinates is :