透視轉換(Perspective Projection) and 相機模型(Camera Model)

轉載自
http://www.bime.ntu.edu.tw/~ttlin/Course01/lecture_notes/c1lecture_note03.htm

透視轉換(Perspective Transform)

●透視轉換是將三維空間的點投影到平面上，基本上透視轉換和前述之基本轉換是不同的，因透視轉換為非線性轉換

　

　

１．基本關係式：

由以上二式可求得點之投影座標

　

２．透視轉換之矩陣表示法：

(1).利用齊次座標(Homogeneous coordinates)轉換與表示：

(2).定義透視轉換矩陣：

　

　

　

(3).進行轉換：

(4).由齊次座標轉換回原座標系統：

* z is a free variable for inverse perspective transform

　

３．透視轉換之反轉換：

ｗ_h = Ｐ^-1 ｃ_h

逆矩陣Ｐ^-1可以由上式求出，如下式：

但是影像平面上之一點(x₀, y₀)或(x₀, y₀, 0)經由上面式子轉換之結果將無法得到三維空間之投射(z=0)，如下所示：

故必須假藉一自由變數z以求得三維之反轉換

以Z表示z則可得

　

三、相機模型(Camera Model)

前述之轉換有一基本假設，即是影像座標與體座標是一致的（原點相同且沒有旋轉）。上圖之相機模型則加入了較複雜之座標系統間的關係，雖然兩個座標系統不一致，但是前述之原理仍可以應用於這個相機模型中，只要經過適當的體座標系統轉換，令兩座標系統之原點和座標軸一致即可，以下為使兩個座標系統一致的步驟：

１．首先將體座標系統之原點移至環架(Gimbal)中心：

２．分別對x軸及z軸進行旋轉：

（請注意逆時針方向角度為正值）

Ｒ = Ｒ_αＲ_θ

３．再將座標系統之原點移至影像平面中心：

４．進行透視轉換：

ｃ_h = ＰＣＲＧｗ_h

　

５．一個實例：

　

四、相機校準方法(Camera Calibration)

應用已知點座標來計算照相機參數(Offset, tilt, pan...)的計算程序一般稱為相機校準。

令　Ａ = ＰＣＲＧ, ｃ_h = Ａｗ_h, k = 1, 則

展開得

將c_h4代入可得

因此由上面二式可知有12個係數待求得，故校準之目的即是求得這些係數，求取係數之步驟如下：

１．取得六個或六個以上(m≧6)之點的已知座標

(X_i,Y_i,Z_i), i = 1,2,...,m。

２．以照相機取得已知點之影像座標(x_i, y_i), i = 1,2,...,m。

３．代入上面之聯立式中求解係數。

　

五、立體取像(Stereo Imaging)